Bài toán tiếp tuyến là một trong những dạng toán quan trọng và thường hay xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi đại học những năm qua. Vì vậy, các bạn học sinh luyện thi đại học cần phải chú ý nhiều đến dạng bài tập này.
Sau đây là những dạng bài cơ bản về viết phương trình tiếp tuyến và phương pháp giải.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x):
Câu 1. Tại một điểm M0 (x0; y0) trên đồ thị.
Câu 2. Tại điểm có hoành độ x0 trên đồ thị.
Câu 3. Tại điểm có tung độ y0 trên đồ thị.
Câu 4. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung Oy.
Câu 5. Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox.
*Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến(PTTT) của (C): y = f(x) tại M0 (x0; y0)
y – y0 = f’(x0) (x – x0) (1)
Viết được (1) là phải tìm x0, y0 và f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.
Giải các câu trên lần lượt như sau:
Câu 1:
- Tính y’ = f’(x) rồi tính f’(x0).
- Viết PTTT: y – y0 = f’(x0) (x – x0)
Câu 2:
- Tính y’ = f’(x) rồi tính f’(x0).
- Tính tung độ y0 = f(x0) (bằng cách thay x0 vào biểu thức của hàm số để tính y0)
- Viết PTTT: y – y0 = f’(x0) (x – x0)
Câu 3:
- Tính hoành độ x0 bằng cách giải phương trình f(x) = y0
- Tính y’ = f’(x) rồi tính f’(x0).
- Sau khi tìm được y0 và x0 thì viết PTTT tại mỗi điểm (x0; y0) tìm được.
Câu 4:
- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục Oy: Cho x0 = 0 và tính y0.
- Tính y’ = f’(x) rồi tính f’(x0) = f’(0)
- Viết PTTT: y – y0 = f’(0) (x – 0)
Câu 5:
- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục Ox: Cho y0 = 0 và tính x0,
- Tính y’ = f’(x) rồi tính f’(x0) tại các giá trị x0 vừa tìm được;
- Viết PTTT: y – 0 = f’(x0) (x – y0)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x):
a) biết rằng tiếp tuyến song song với đuờng thẳng y = ax + b.
b) biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b.
* Phương pháp:
Tính y’
Giải phương trình y’ = k để suy ra x0
Tính y0
Thay vào phương trình y – y0 = k(x – x0)
Chú ý:
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = kx + b sẽ có hệ số góc k
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = kx + b sẽ có hệ số góc
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x
Bài 2: Cho hàm số
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 vuông góc với đường thẳng y = 2x - 3
Bài 3: Cho (C) y = f(x) = x3 – 3x2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với 5y – 3x + 4 = 0..
Bài 4: Cho (C) y = f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x - 5
a) Viết phương trình tiếp tuyến cới (C) biết tiếp tuyến này song song với đường thẳng y=6x-4
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với góc 450.
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước đến đồ thị.
Phương pháp : Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Hai đường thẳng y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc tai điểm hoành độ x0 khi x0 là ngiệm của hệ:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến (C) y = x3 – x – 6?
Hướng dẫn giải:
Gọi (d) là phương trình tiếp tuyến đi qua A(2; 0) và có hệ số góc k có dạng:
y – 0 = k( x – 2) ó y = kx – 2k
Phương trình hoành độ giao điểm chung của (C) và (d) là :
Giải hệ trên tìm được k = 2 hoặc k = 11
Vậy có hai tiếp tuyến với (C) đi qua A(2; 0).
(d1) : y = 2x – 4
(d2) : y = 11x - 22
Chúc các bạn thành công!
